Алгебраические структуры группа кольцо поле - Кольцо (математика)

Рекомендовано Ученым советом механико-математического факультета 27 ноября г. Тавгень; кандидат физико-математических наук, доцент О. В учебном пособии излагаются основы теории групп, колец и полей. Этот материал изучается в рамках курса "Алгебра и теория чисел"на математических специальностях в вузах.

Кроме большого числа примеров, иллюстрирующих теорию, в книгу включено много упражнений. Пособие предназначено для студентов и преподавателей математических специальностей университетов. Предлагаемое учебное пособие предназначено для завершающего этапа алгебраического образования всех студентов-математиков.

Материал в нем посвящен изложению ряда понятий и результатов теории абстрактных групп, колец и полей. Необходимость знакомства с этими абстрактными алгебраическими объектами обусловлена тем, что в последнее время процесс, связанный с переходом математики на теоретико-множественную основу и выходом на передний план аксиоматических методов исследования, изменил представления об алгебре как математической дисциплине.

Начиная со своего возникновения алгебра понималась как наука о решении уравнений или систем уравнений сначала для чисел, позднее для других конкретных математических объектов. В настоящее время основной объект исследования алгебры свойства операций, производимых над объектами произвольной природы. Возникающие на этом пути абстрактные алгебраические системы достаточно универсальны, чтобы конкретные их реализации можно было найти в разных областях как математики, так и других наук.

В пособии изложены результаты лишь о классических алгебраических системах. Группы и поля первые алгебраические системы, возникшие в математике в связи с решением алгебраических уравнений. Сегодня теория групп и теория полей наиболее развиты в алгебре, а полученные в них результаты наиболее используются в других областях математики. Отбирая материал для пособия, авторы стремились представить широкий спектр результатов, которые можно использовать как в общих, так и в специальных курсах по другим разделам математики, а.

Пособие содержит две главы. Первая глава посвящена основам теории групп. Рассматриваются основные теоретико-групповые понятия: Доказываются классические теоремы Лагранжа и Кэли. Подробно изучаются два класса групп циклические группы и конечно порожденные абелевы группы.

Во второй главе изучаются кольца и поля. В теории колец вводятся такие понятия, как кольцо, подкольцо, идеал, факторкольцо, прямое произведение колец, гомоморфизм и изоморфизм колец. Изучается кольцо многочленов от нескольких переменных и доказывается основная теорема о симметрических многочленах.

Вводятся основные понятия теории: Изучаются простые алгебраические и трансцендентные расширения полей. Значительное внимание уделяется конечным полям. В пособии представлены лекции, читавшиеся на протяжении ряда последних лет для студентов 2-го курса механико-математического факультета БГУ.

У потенциальных читателей книги предполагается наличие определенных алгебраических знаний. К их числу относятся, прежде всего, теория делимости многочленов одной переменной, исчисление матриц и основные факты об определителях, ряд элементарных понятий и результатов линейной алгебры. Пусть X произвольное множество.

Чаще всего используют две формы записи операции: В дальнейшем при изложении теории будем использовать мультипликативную форму записи операции и лишь в некоторых случаях аддитивную. На X может быть задано много разных операций. В направлении конструирования разных бинарных операций на множестве X открывается простор для фантазии.

Но задача изучения произвольных алгебраических структур слишком общая, чтобы представлять реальную ценность. По этой причине рассматривают естественные ограничения на алгебраические операции.

Требования ассоциативности и коммутативности независимы. Пусть e 1 ; e 2 два нейтральных элемента. Элемент a 2 X называется обратимым, если найдется элемент b 2 X, для которого.

Основные алгебраические структуры полугруппа, группа, кольцо, тело, поле.

Если b симметричный элемент к a , то и a симметричный элемент к b. Тогда для любого элемента a 2 X может существовать не более одного симметричного элемента. Пусть b 1 ; b 2 два симметричных элемента к a. Тогда, как следует из определения,. Не меняя порядка, можно разными способами составлять произведения длины n.

Пусть l n число таких способов:. Однако для ассоциативной алгебраической операции расстановка скобок оказывается излишней. Если бинарная операция на X ассоциативна, то результат ее последовательного применения к n элементам множества X не зависит от расстановки скобок. Далее рассуждаем индукцией по n. В левой части мы выписали только внешние пары скобок, поскольку по предположению индукции расстановка внутренних скобок несущественна.

Ассоциативна ли эта операция? Что можно сказать о нейтральном и обратимых элементах M? Существует ли в M 2 нейтральный элемент? ПОНЯТИЕ ГРУППЫ, ПОДГРУППЫ, ПРИМЕРЫ. В дальнейшем будем использовать если не оговорено противное мультипликативную запись. Удивительно, что одна из старейших и богатейших по результатам область алгебры, играющая фундаментальную роль в геометрии и в приложениях математики к вопросам естествознания, основывается на столь простых аксиомах.

Гениальные работы Галуа оказались непонятыми, и возрождение интереса к ним началось после книги К. Порядком группы G называется мощность jGj множества G. Благодаря ассоциативности в группе произведение любых ее эле-. Непустое подмножество H группы G является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:. Пусть H подгруппа в G , т.

Основные алгебраические структуры полугруппа, группа, кольцо, тело, поле. » РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, КОНТРОЛЬНЫХ

H группа относительно той же операции, которая определена на G. На H определена алгебраическая операция, поэтому ab 2 H для всех a; b 2 H. Проверим, совпадает ли единица 1 H подгруппы H с единицей 1 G группы G. В G для 1 H имеется обратный. Поскольку H подгруппа, то для любого a 2 H существует об-. Она ассоциативна, так как ассоциативность справедлива для всех элементов из G. Значит, H подгруппа в G , что и требовалось доказать. Любая группа G содержит подгруппы f 1 g и G ; их называют тривиальными.

Приведем примеры групп и их подгрупп. Далее в пособии используется следующее определение композиции двух отображений: FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Мельников ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ: ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Учебное пособие для студентов математических специальностей. ISBN В учебном пособии излагаются основы теории групп, колец и полей. ВВЕДЕНИЕ Предлагаемое учебное пособие предназначено для завершающего этапа алгебраического образования всех студентов-математиков.

Элемент b называется симметричным к a. Пусть l n число таких способов: ПОНЯТИЕ ГРУППЫ, ПОДГРУППЫ, ПРИМЕРЫ Определение 2. Группа с коммутативной операцией называется коммутативной, или абелевой в честь норвежского математика Абеля. Для обозначения групповой операции чаще всего используют два символа: Благодаря ассоциативности в группе произведение любых ее эле- ментов a 1 ; a 2 ;: Пусть a элемент группы G. Непустое подмножество H группы G является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: Так как 1 H единица в H , то.

См. также